מתמטיקה 5 יח"ל

אוניברסיטת בר אילן

המכינה הקדם אקדמית

סילבוס לקורס מתמטיקה ייחודי  5 יח"ל         שנה"ל תשע"א

    המרצה:  מר ז'ק כהנא

פרק א': אלגברה

• 1. המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים ואי רציונליים. ערך מוחלט ותכונותיו. שורש ריבועי.
• 2. חזרה על טכניקה אלגברית: נוסחאות כפל מקוצר; פירוק לגורמים, שברים אלגבריים, תבניות מספר ותחומי הצבה.
• 3. מושגים בסיסיים מתורת הקבוצות: פעולות בקבוצות - איחוד וחיתוך, שייכות, קבוצות חלקיות, פעולת המשלים. קבוצת אמת של תבניות פסוק, פתרון משוואות מן המעלה הראשונה ומערכת של משוואות ליניאריות (כולל חקירה של מערכת ליניארית עם פרמטר).
• 4. פתרון אי-שוויונים ליניאריים ומערכות שלהן. פתרון של אי שוויונים עם ערך מוחלט מהצורה: .
• 5. המשוואה הריבועית: חקירה, הקשר בין שורשים למקדמים (נוסחאות וייטה), פירוק לגורמים. פתרון של אי שוויונים ריבועיים ומערכות של אי שוויונים שבהן מופיעות פונקציות ריבועיות.
• 6. מושג הפונקציה, תחום טווח, גרף של פונקציה, פתרון אלגברי וגרפי של אי שוויונים מהצורה: , , .
• 7. מושגים מהנדסה אנליטית: משוואת הקו הישר ומשמעות המקדמים a ו-b. מציאת הישר לפי שיפוע ונקודה ולפי שתי נקודות, המשוואה הכללית של ישר, הקבלה וניצבות של ישרים. נוסחת אמצע קטע ונוסחת המרחק שבין שתי נקודות נתונות, משוואה קנונית של מעגל ומשוואת מעגל בנקודת מרכז כלשהי. ההיפרבולה, האליפסה והפרבולה.
• 8. פונקצית שורש. פתרון אלגברי וגרפי של אי-שוויונים עם שורשים כמו: .
• 9. הפונקציות המעריכית והלוגריתמית: תכונות, משוואות ואי שוויונים.
• 10. עיקרון האינדוקציה המתמטית. אשור אי שוויונים באינדוקציה.
• 11. סדרות חשבוניות והנדסיות - נוסחאות ו- . טור הנדסי אינסופי מתכנס.
• 12. מספרים מרוכבים: הצגה אלגברית והצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב. המישור של גאוס. משפט De Moivre. הוצאת שורשים ממספר מרוכב. שורשי היחידה. השימוש במספרים מרוכבים לבעיות בהנדסה ובאלגברה.
• 13. פולינומים ומשוואות פולינומיאליות מעל למרוכבים: החילוק עם שארית, משפט בז'ו (התחלקות בדו-איבר), והסכימה של הורנר, חישוב השורשים השלמים והרציונליים של משוואות פולינומיאליות עם מקדמים שלמים. חישוב השורשים המורכבים של משוואות פולינומיאליות עם מקדמים ממשיים. המשפט הסודי של האלגברה ופירוק הפולינום מעל למרוכבים.

פרק ב': טריגונומטריה

• 1. פונקציה זוגית, אי זוגית ומחזורית.
• 2. מידת זווית במעלות ובעזרת אורך קשת - הרדיאן.
• 3. הגדרת הפונקציה לכל x .
• 4. הנוסחאות , כאשר f היא פונקציה טריגונומטרית.
• 5. פתרון כללי של משוואות טריגונומטריות ופתרון בתחום נתון.
• 6. שרטוט והכרת הגרף של פונקציה מהצורה: , כאשר f היא פונקציה טריגונומטרית.
• 7. התרת משולש ישר זווית וצורות המורכבות ממשולש ישר זווית באמצעות פונקציות טריגונומטריות. השימוש במשפט הסינוסים, הקוסינוסים ושטח המשולש בבעיות בהנדסת המישור.
• 8. אשור אי שוויונים טריגונומטריים זהותיים. פתרון אי שוויונים בתחום נתון.
• 9. הוכחת תכונות על המשולש.

פרק ג': אנליזה

• 1. מושג הגבול. אי רציפות. מושג הנגזרת ומשמעותה הגיאומטרית. הנגזרת של פונקציות אלמנטאריות. כללי גזירה. גזירה של פונקציה מורכבת. משיק ונורמל (בנקודה שעל גרף הפונקציה ומנקודה חיצונית).
• 2. שימוש של הנגזרת בחקירת פונקציות. פונקציות עולות, יורדות, נקודות מקסימום ומינימום (קיצון יחסי וקיצון מוחלט), אסימפטוטות, השימוש בנגזרת השניה, , לצורך תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול.
• 3. מושג הפונקציה הסתומה. הנגזרת של פונקציות אלה. משיק ונורמל. אישור נוסחאות המשיק לאליפסה, היפרבולה, פרבולה ומעגל הידועות מגיאומטריה אנליטית. הנגזרת של הפונקציה ההפוכה והשימוש בה לחישוב הנגזרת של הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות.
• 4. פתרון בעיות מקסימום ומינימום שונות (בעיות מספרים, בעיות הנדסה, בעיות הנדסה אנליטית, בעיות כלכלה).
• 5. נגזרות של פונקציות טריגונומטריות. חקירה מתקדמת של פונקציה טריגונומטרית.
• 6. הפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות, , ונגזרותיהן. חקירה מתקדמת של פונקציות אלה. כללי לופיטל והשימוש בהם לצורך מציאת הגבול של הפונקציה הלוגריתמית והמעריכית בסביבה של נקודת אי הגדרה ובחישוב אסימפטוטות.
• 7. חשבון אינטגרלי: פונקציה קדומה. האינטגרל הבלתי מסוים. אנטגרציה אלמנטרית. מציאת הפונקציה ע''פ נגזרתה ונקודה עליה.
• 8. שיטות אינטגרציה: שיטת הפירוק, שיטת האינטגרציה בחלקים, שיטת ההצבה (כולל הצבות טריגונומטריות והצבות של אוילר) לצורך חישוב אנטגרלים לא מיידיים. הפירוק של פונקציות רציונליות ואינטגרציה של פונקציות אלה.
• 9. האינגרל המסויים ושימושיו בחישובי שטחים ונפחים של גופי סיבוב.

פרק ד': וקטורים ונושאים מאלגברה ליניארית

• 1. מערכות ליניאריות ושיטת החילוץ של גאוס. הכתיב המטריציאלי של מערכת. פעולות אלמנטריות, מטריצה מדורגת, השימוש לפתרון מערכות ליניאריות, ניתוח המצבים של מערכת ליניארית עם פרמטר.
• 2. וקטורים במישור , במרחב ובהכללה ל- . פעולות של חיבור, חיסור וכפל בסקלר.
• 3. המכפלה הסקלרית של וקטורים ותכונותיה. אורך של וקטור. זווית בין שני וקטורים.
• 4. השימוש בוקטורים בהנדסה - תיאור קו ומישור במרחב בעזרת וקטורים. שימוש בהצגות פרמטריות. ניצבות של וקטורים. וקטור ניצב למישור.
• 5. צירופים ליניאריים של וקטורים. תלות ואי תלות ליניארית של וקטורים.
• 6. מרחבים וקטוריים. קבוצה פורשת של מרחב וקטורי. בסיס ומימד של מרחב וקטורי.
• 7. תתי-מרחבים וקטוריים. מציאת בסיס ומימד לתת המרחב. כולל הצגה גיאומטרית של תתי המרחבים ב- ו- .

סה''כ שעות: 348 שעות (12 שעות בשבוע למשך 29 שבועות)